پایان نامه بررسی رفتار پل های مورب دارای سیستم جداسازی لرزه ای در برابر زلزله های افقی و قائم

پایان نامه جهت دریافت درجه کارشناسی ارشد رشته عمران گرایش سازه

چکیده

        امروزه به دلیل محدودیت روزافزون فضا و صرفه جویی های اقتصادی برای جلوگیری از طولانی تر شدن مسیر و افزایش ایمنی راه استفاده از پل های مورب اجتناب ناپذیر است. موضوع مورب بودن پل باعث ایجاد رفتار متفاوت و بعضاً پیچیده در پل تحت اثر نیروهای وارد برآن خواهد شد و با توجه به بحث وقوع زلزله در دهه های اخیر که باب جدیدی را در طراحی سازه ها گشود، بحث عملکرد لرزه ای پل های مورب برپیچیدگی رفتاری آن ها افزوده است. توانایی و مزایای جداگرهای لرزه ای بعنوان ابزار کنترل غیرفعال نیروهای زلزله که به طراحان اجازه می دهد نیروهای زلزله وارد بر پایه ها و کوله های پل را کاهش داده و یا متعادل کنند، به خوبی به اثبات رسیده است. در این تحقیق اثر همزمان مورب بودن پل و استفاده از جداساز لرزه ای هسته سربی ، در پاسخ لرزه ای پل ها مورد ارزیابی قرار گرفته است که نتایج نشان می دهد استفاده از جداساز لرزه ای در پل های مورب می تواند بسیار مفید باشد و اثر فزاینده پاسخ لرزه ای پل های مورب را کاهش می دهد. به عبارتی دیگر تاثیر جداساز در کاهش پاسخ های لرزه ای پل های مورب به مراتب بیشتر از پل های غیر مورب می باشد. همچنین نتایح نشان می دهد در نظر گرفتن مؤلفه قائم در پل های مورب بدون جداساز که دارای دهانه قابل ملاحظه می باشند، می تواند باعث افزایش پاسخ لرزه ای چنین پل هایی شود که استفاده از جداساز توانسته است از این افزایش تا حدود زیادی بکاهد.

کلمات کلیدی : پل مورب، جداسازی لرزه ای، زلزله، افقی، قائم

فصل اول 

- 1- پیشگفتار

       در دنیای امروز راه های ارتباطی نقش مهمی را در ساختار اقتصادی،اجتماعی و سیاسی کشورها ایفا می‌کنند. هر راه برای اینکه مسافرین را سریع تر به مقصد برساند، باید از عوارض طبیعی مثل کوه ها، رودخانه‌ها و دره‌ها عبورکند و برای عبور از اکثر مناطق ذکر شده نیاز به وجود پل می‌باشد. همین امر اهمیت پل‌ها را دوچندان می‌کند. پل‌ها در شبکه راه های ارتباطی یک کشور، به خصوص در امور اقتصادی، نظامی و سیاسی نقش کلیدی و استراتژیک و تعیین کننده ای دارند. به همین دلیل پل‌ها هزینه های زیادی را متحمل اقتصاد یک کشور می‌کنند. لذا حفظ و نگهداری و بازرسی های فنی و مدیریت پل باید با یک سیستم مدیریتی کامل انجام شود تا از هدر رفتن هزینه های ملی و گزاف آن جلوگیری شود.

       امروزه به دلیل محدودیت روزافزون فضا وصرفه جویی های اقتصادی برای جلوگیری از طولانی تر شدن مسیر و افزایش ایمنی راه استفاده از پل های بیه[1] اجتناب ناپذیر است. موضوع مورب بودن پل باعث ایجاد رفتار متفاوت و بعضاً پیچیده در پل تحت اثر نیروهای وارد برآن خواهد شد و با توجه به بحث وقوع زلزله در دهه های اخیر که باب جدیدی را در طراحی سازه ها افتتاح کرد بحث عملکرد لرزه ای پل های مورب بر پیچیدگی رفتاری آن ها افزوده است. از طرفی، توسعه ارتباطات و لزوم استفاده بهینه از فضاهای شهری و همچنین محدودیتهای هندسی در هنگام عبور ازعوارض طبیعی سبب گردیده است که پل های مورب بخش مهمی از سیستم حمل و نقل شهری و بین شهری را تشکیل دهند. در حقیقت پل های مورب در زمین لرزه های گذشته تحت اثر بارهای لرزه ای آسیب پذیرتر از پل های مستقیم بوده اند.

(تصاویر در فایل اصلی موجود است)

1-2- هدف از پایان نامه حاضر

        هدف از پایان نامه حاضر، آشنایی با سیستم جداساز لرزه ای، انواع جداگر ها و کاربرد جداساز لرزه ای هسته سربی در پل های مورب (بیه) به منظور کاهش اثرات نیروهای جانبی می باشد. همچنین در این تحقیق ضوابط آیین نامه آشتو[2] در مورد طراحی جداسازهای لرزه ای مورد مطالعه قرار گرفته است. به نظر می رسد پل های مورب نسبت به پل های معمولی تحت واکنش های اضافی می باشند، لذا انتظار می رود با بکارگیری جداساز لرزه ای هسته سربی بتوان واکنش های اضافی پل های مورب را تا حدود قابل توجهی کاهش داد.

       از آنجایی که در واقعیت سازه ها در هنگام وقوع زلزله با تحریک دوجهته زلزله مواجه می باشند، لذا در این تحقیق پل های مورب بدون جداساز و جداسازی شده، تحت تحریک دو جهته زلزله قرار گرفته اند. همچنین به منظور تاثیر مؤلفه قائم زلزله ، پل های مورب تحت تحریک سه جهته ( با در نظر گرفتن مؤلفه قائم ) قرار  گرفته اند و پاسخ لرزه ای پل های مورب در دو حالت تحریک دو و سه جهته، ارزیابی و مقایسه شده اند.

-3- تعریف مساله و بیان اهداف اصلی تحقیق

        توانایی و مزایای جداگرهای لرزه ای بعنوان ابزار کنترل غیرفعال نیروهای زلزله که به طراحان اجازه      می دهد نیروهای زلزله وارد بر پایه ها و کوله های پل را کاهش داده و یا متعادل کنند، به خوبی به اثبات رسیده است. با توجه به انواع خسارت های وارد بر  پل ها در زلزله های گذشته که عمدتا بواسطه تخمین نادرست نیروهای زلزله می باشد، با استفاده از جداگرها می توان به نحو موثری در بهسازی پل های موجود و یا طراحی پل های جدید واقع در نواحی لرزه خیز بهره برد. در این تحقیق اثر همزمان مورب بودن پل و استفاده از جداساز لرزه ای هسته سربی، در پاسخ لرزه ای پل ها مورد ارزیابی قرار گرفته است.

           برای این منظور پل های مورد مطالعه به صورت سه بعدی به کمک نرم افزار  SAP2000V14.2.2 مدل شده اند. به منظور ارزیابی پاسخ لرزه ای پل های مورب و تاثیر جداساز لرزه ای هسته سربی، پل ها با زوایای تورب 0 تا 50 درجه (با رشد 10 درجه) یکبار بدون جداساز و بار دیگر با جداساز لرزه ای مدل  شده اند. همچنین به منظور مشاهده میزان تاثیرگذاری مؤلفه قائم زلزله بر پاسخ  لرزه ای پل های نامنظم و مورب، مدل ها تحت تحریک دو جهته (بدون در نظر گرفتن مؤلفه قائم) و بار دیگر تحریک سه جهته (با   در نظر گرفتن اثر مؤلفه قائم زلزله)، قرار گرفته اند. مواردی که مورد بررسی قرار می گیرند عبارت است از :

بررسی برش پایه در پل های مورب بدون جداساز (تکیه گاه ثابت) و مقایسه آن با پل های جداسازی شده با جداساز لاستیکی هسته سربی، در حالت تحریک دو جهته زلزله (بدون در نظر گرفتن تاثیر مؤلفه قائم)

بررسی بیشترین نیروی برشی و نیروی محوری کوله ها در پل های مورب بدون جداساز (تکیه گاه ثابت) و مقایسه آن با پل های جداسازی شده با جداساز لاستیکی هسته سربی، در حالت تحریک دو جهته زلزله (بدون در نظر گرفتن تاثیر مؤلفه قائم)

  بررسی بیشترین نیروی محوری ستون ها و بیشترین پیچش پای ستون در پل های مورب بدون جداساز (تکیه گاه ثابت) و مقایسه آن با پل های جداسازی شده با جداساز لاستیکی هسته سربی، در حالت تحریک دو جهته زلزله (بدون در نظر گرفتن تاثیر مؤلفه قائم)

 بررسی بیشترین جابجایی گوشه عرشه در پل های مورب بدون جداساز (تکیه گاه ثابت) و مقایسه آن با پل های جداسازی شده با جداساز لاستیکی هسته سربی، در حالت تحریک دو جهته زلزله (بدون در نظر گرفتن تاثیر مؤلفه قائم)

بررسی تمام حالت های ذکر شده در حالت تحریک سه جهته و مقایسه آن با حالت تحریک دو جهته

بررسی ضریب حفاظت پایه پل های مورب در سه حالت تحریک یک جهته، دو جهته و سه جهته و مقایسه آن ها

1-4- ساختار پایان نامه

       کلیه مطالب این پایان نامه در پنج فصل می باشد که این فصول به شرح زیر می باشد.

فصل اول : مقدمه و مروری بر ضرورت استفاده از جداسازی پایه در پل های مورب

فصل دوم : تعریف پل های مورب (بیه) و مطالعات صورت گرفته در خصوص پل های مورب، عملکرد پل ها در زلزله های اخیر و روش های بهسازی آن ها و مطالعات تاریحچه ای در مورد پل های دارای جداساز و شرح اجمالی از انواع جداساز و کاربرد آن ها و تفاوت کاربرد جداسازی لرزه ای در پل ها با ساختمان

فصل سوم : چگونگی مدل سازی، بارگذاری و تحلیل پل های مورد بررسی در پایان نامه حاضر

فصل چهارم : بررسی نتایج حاصل از تحلیل پل های مورب با تکیه گاه ثابت و مقایسه نتایج با پل های مورب جداسازی شده با جداساز لرزه ای هسته سربی در دو حالت تحریک دو جهته و سه جهته و همچنین بررسی ضریب حفاظت پایه پل های مورب در سه حالت تحریک یک ، دو و سه جهته

فصل پنجم : نتیجه گیری و ارائه پیشنهادات

پیوست الف : ضوابط آیین نامه آشتو در مورد طراحی جداساز لرزه ای پل ها

پیوست ب : ضوابط طراحی پل های جداسازی شده طبق آیین نامه یوروکد[3]

فصل دوم 

2-1- مقدمه

        پل ها به عنوان سیستم های سازه ای نسبتاً ساده، جایگاه ویژه ای در ذهن طراحان سازه داشته زیرا شکل ساختاری آن ها بیان ساده ای از نیاز عملکردی آن هاست. به همین علت، راه حل های سازه ای که برای آن ها وضع می شود باید هم از لحاظ عملکرد پل و هم از جهت زیبایی تأیید شود. علیرغم سادگی سازه ای پل ها، بخصوص آن هایی که از بتن مسلح یا بتن پیش تنیده ساخته شده اند، تحت زلزله های مختلف نتوانسته اند در سطح توقع طراحان عمل کنند. زلزله های اخیر در کالیفرنیا، ژاپن و آمریکای میانه، نشان داد که بسیاری از پل های طرح شده براساس ضوابط آئین نامه های زلزله، دچار خسارت های شدید و یا حتی واژگونی شدند و این در حالیست که شدت این زلزله ها کمتر از مقادیر نظیر در آئین نامه های طراحی گزارش شده است ]1[.

2-2- تعریف پل های مورب

      پل مورب به پلی اطلاق می شود که خط عمود بر محور طولی عرشه با خط تکیه گاه زاویه غیر قائم       می سازد. بر اساس آیین نامه های پل سازی، چنانچه زاویه کجی پل بیشتر از 15 درجه باشد، پل در رده     پل های نامنظم هندسی قرار می گیرد ]2[.

امروزه به دلیل محدودیت روزافزون فضا وصرفه جویی های اقتصادی برای جلوگیری از طولانی تر شدن مسیر و افزایش ایمنی راه استفاده ازپل های مورب اجتناب ناپذیر است. موضوع مورب بودن پل باعث ایجاد رفتار متفاوت و بعضاً پیچیده در پل تحت اثر نیروهای وارد برآن خواهد شد و با توجه به بحث وقوع زلزله در دهه های اخیر که باب جدیدی را در طراحی سازه ها گشود بحث عملکرد لرزه ای پل های مورب برپیچیدگی رفتاری آن ها افزوده است ]3[.

       پل های مورب به دلیل خروج از مرکزیت های ایجاد شونده در آن ها مستعد پیچش هستند و به همین دلیل این پل ها درزلزله های اخیر رفتار بسیار پیچیده ای داشته اند. برای مدت زمان زیادی پل های مورب همانند پل های مستقیم بدون در نظر گرفتن بزرگی زاویه تورب و مشکلات ناشی از آن، آنالیز، طراحی و حتی ساخته می شدند. پارامترهای طراحی وآنالیز پل های مستقیم و مورب ارائه شده در استانداردهای معتبر یکسان و اثر زاویه تورب در آن ها دیده نشده بود ]4[.

2-3- مطالعات صورت گرفته  بر روی پل های مورب

        مطالعات انجام شده بر روی تاریخچه آسیب های وارده بر پل های مورب در زلزله های اخیر، بیانگر آن است که یکی از مهم ترین انواع آسیب پذیری پل های مورب، آسیب ناشی از پیچش به دلیل خروج از    مرکزیت های ایجاد شونده در آن ها می باشد .لنگر پیچشی با توجه به بزرگیش می تواند منجر به بروز ترک در گوشه های عرشه و یا جداشدگی دال از روی تکیه گاه شود که در زلزله های اخیر نمونه های فراوانی مشاهده شده است .از طرفی، توسعه ارتباطات و لزوم استفاده بهینه از فضاهای شهری و همچنین محدودیت های هندسی در هنگام عبور ازعوارض طبیعی سبب گردیده است که پل های مورب بخش مهمی از سیستم حمل و نقل شهری و بین شهری را تشکیل دهند. در حقیقت پل های مورب در زمین لرزه های گذشته تحت اثر بارهای لرزه ای آسیب پذیرتر از پل های مستقیم بوده اند ]4[.

       به طور مثال زلزله لوماپریتا (1989) در کالیفرنیا، منجر به خرابی تقریبا 5 درصد از پل ها گردید، به گونه ای که شدت آسیب ها در پل های با زاویه تورب بزرگتر، بیشتر بود. زلزله نورثریج در کالیفرنیا در سال   1994 منجر به خرابی بسیاری از پل های مورب ساخته شده در آن زمان گردید. بررسی های انجام شده بر روی پل های مورب آسیب دیده و مطالعات انجام شده توسط محققان نشان داد که پل های موربی که زاویه تورب آن ها بیش از 40 درجه بود آسیب های شدید تری دیده بودند. از این رو محققان بسیاری به مطالعه پل های مورب پرداختند ]5 .[

       موهتی[1] و گوخان[2] ,پلی دارای سه دهانه پیوسته با زوایای تورب مختلف از صفر تا 60 درجه را به دو روش تیر و فنر  و المان محدود مدل سازی و رفتار آن ها را تحت آنالیزهای مختلف استاتیکی، استاتیکی غیرخطی و تاریخچه زمانی خطی بررسی نموده است و به این نتیجه رسیده که برای تحلیل پل در زمانی که زاویه تورب بیش از 30 درجه است استفاده از مدل اجزای محدود الزامی است ]6 .[

       سوگیلی[3] و کانر[4] عملکرد لرزه ای بیش از سی نمونه  پل کج دو دهانه و چهار دهانه را با بهره گیری از     نرم افزار اجزاء محدود LARSA 2000 تحلیل نموده و رفتار لرزه ای آن ها را با نمونه های مشابه بهسازی شده با کابل های مقید کننده، مقایسه نمودند. نتایج نشان داده است که جابجایی های طولی و عرضی عرشه در پل های بهسازی شده نسبت به نمونه های نظیر بهسازی نشده کاهش یافته است ]7 .[

       تئوریت[5] و همکارانش برای بررسی تلاش های برشی در دال پل های مورب ، پل هایی با دهانه های 10 متر و عرض 12 متر و زاویه تورب صفر و 30 درجه توسط نرم افزار SAP 2000 آنالیز نموده اند. مطالعات نشان داده است که با افزایش زاویه تورب، نیروی برشی و ممان خمشی عرضی زیاد شده و ممان طولی کاهش می یابد ]8 .[

       کلانتری و امجدیان رفتار لرزه ای غیرخطی پل مورب بتنی مسلح فوت هیل با بهره گیری از نرم افزار المان محدود OPENSEES را مورد بررسی قرار داده و نتایج به دست آمده برای این پل مورب با پل مستقیم متناظر آن را مقایسه نمودند. نتایج عددی حاصله نشانگر تأثیر قابل توجه تورب پایه ها در نحوه پاسخ لرزه ای پل مورب فوت هیل و کاهش ظرفیت باربری آن بر اثر عملکرد همزمان نیروی محوری و لنگر پیچشی روی ستون های بحرانی است] 9 .[

       کلی[6]، در سال 1974 با استفاده از مدل تیری که اتصالش در دو انتها به پایه های کناری گیردار فرض شده بود، پاسخ هر دو حالت چرخشی و خمشی تغییر شکل عرشه پل، تحت اثر مولفه قائم زلزله سان فرناندو (9 فوریه 1971) مورد بررسی قرار گرفت و چنین نتیجه شد که خرابی به وجود آمده در پل ناشی از  حرکت های هم بسته چرخشی و خمشی عرشه پل بوده و در نتیجه ستون ها بر اثر فشار بیش از حد گسیخته شده اند ]10 .[

      لویی[7] در سال 2000 رفتار لرزه ای پل مورب فوت هیل در زمین لرزه سان فرناندو را با استفاده از سه مدل اجزاء محدود و به روش تحلیل طیفی تحت اثر دو مولفه طولی و عرضی مورد مطالعه قرار داد.       مدل های در نظر گرفته شده عبارت بود از دو مدل با عرشه صلب و انعطاف پذیر که در آنها عرشه با استفاده از المان پوسته مدل سازی شد و یک مدل که در آن عرشه با یک تیر طولی معادل (مدل شاخه ای)      مدل سازی شده بود. نتیجه حاصل از تحلیل ارتعاش آزاد این سه مدل حاکی از آن است که در هر سه مدل مود غالب چرخش عرشه در صفحه حول محور قائم بوده و در مود دوم و سوم مدل شاخه ای و مدل عرشه صلب فقط انتقالی است ولی در این دو مود مدل عرشه کشسان حرکت های انتقالی همراه با پیچش و خمش خارج صفحه را نیز تجربه کرده است؛ بنابراین مشاهده شد که دو مدل اولی از نشان دادن تغییر شکل های خارج صفحه عرشه ناتوان اند. در این مطالعه پاسخ نیروهای برشی، محوری و لنگر پیچشی ستون ها با استفاده از هر سه مدل به دست آمد و بررسی های بیشتر اثرات انعطاف پذیری عرشه، گیرداری ستون ها در پایه های کناری، زاویه تورب پل و برون محور سختی زیرسازه نسبت به مرکز جرم مورد توجه قرار گرفت و نتیجه گیری شد که: 1 در مدل سازی، اثر انعطاف پذیری عرشه برای دست یابی به مدل واقعی تر از رفتار پل و دست یابی به پاسخ های دقیق تر باید لحاظ شود؛ 2- تاثیر گیرداری پایه ستون ها در پایه های کناری در کاهش پاسخ ها از تاثیر کاهش تورب پایه ها نسبت به محور طولی عرشه بیشتر است؛ 3- برون محوری سختی زیرسازه نسبت به مرکز جرم تاثیر چندانی بر پاسخ ها ندارد ]11 .[

       لویی در سال 2002 ضعف مدل سازی عرشه در پل های مورب، با استفاده از مدل میله ای تک تیر را مورد مطالعه قرار داد. با توجه این که مودهای غالب در پل های مورب حرکت انتقالی عرشه همراه با چرخش است، نتیجه حاصل از این مطالعه نشان داد که مدل میله ای تک تیر قابلیت نشان دادن این نوع مودها را نخواهد داشت. برای رفع این نواقص و حفظ سادگی مدل، یک مدل میله ای دو تیر ارائه شد که در آن عرشه با دو تیر طولی به فاصله معین از هم مدل سازی می شود. برای بررسی صحت و کارآمدی مدل ارائه شده، این مدل در کنار مدل دقیق تری که در آن عرشه با المان های پوسته و به صورت کشسان مدل شده، برای مدل سازی رفتار لرزه ای پل مورب فوت هیل در زمین لرزه سان فرناندو به کار برده شد و تحلیل طیفی تحت اثر مولفه طولی و عرضی انجام شد. نتایج حاصل از این تحقیق و تحلیل ارتعاش آزاد حاکی از تطابق خوب پاسخ های دو مدل بود. از این رو به دلیل سادگی و کارآمدی، مدل میله ای دو تیر وسیله ای مناسب برای تحلیل اولیه و ارزیابی پاسخ های لرزه ای پل های مورب معرفی شد ]12 .[ 

       قاسمی در سال 2004 مدل یک پل مورب با استفاده از مطالعه ای آزمایشگاهی را مورد بررسی قرار داد و پارامترهای ایستا و پویای (فرکانس های ارتعاشی مود شکل ها میرایی) پل مذکور تعیین شد. برای اطمینان از صحت نتایج به دست آمده، پاسخ ها با مدل های اجزاء محدود مقایسه گردید و سازگاری     مدل های مورد نظر از رفتاری با مدل آزمایشگاهی تأیید شد  ]13 .[

2-4- خسارت های وارده به پل ها در زلزله های گذشته

       با بررسی خسارت های وارد بر پل ها ناشی از زلزله های  اخیر، سه نقص عمده طراحی را می توان عنوان کرد که با همراه شدن ضعف های اجرایی معضل بحرانی تری شکل می گیرد؛ اگرچه ممکن است هر نقص به شکل های مختلف تجلی کند. این نقایص نتیجه مستقیم فلسفه طراحی الاستیک می باشند که قبل از سال ۱۹۷۰ عمومأ استفاده می شد و هنوز نیز در بعضی از کشورها استفاده می شود. درطرح لرزه ای الاستیک پل های قدیم نوعأ سطوح پائین تنش مجاز استفاده می شد و متناظر با نیروهای زلزله ای بود که تنها کسر کوچکی از نیروهای واقعی تولید شده در سازه با پاسخ الاستیک و مقاومت بالا را تشکیل می دادند؛ در حالی که مقاومت لازم واقعی حدود ۱۰۰ تا ۳۰۰ درصد بیشتر از سطح نیروهای الاستیک بود که حتی در یک زلزله متوسط نیز تجربه می شد.

     بنابراین نتایج روش طرح الاستیک چنین بودند ]14 [:

۱-  تغییر شکل لرزه ای که براساس سطوح نیروی جانبی مشخص شده بودند، بسیار کمتر از مقادیر واقعی تخمین زده می شدند.

2- چون سطوح نیروی زلزله پائین فرض می شد، نسبت بار ثقلی به نیروی زلزله نادرست تصور می شده و لذا الگوهای لنگر پائین و با شکل نامناسب در نظر گرفته می شد.

3- کنش های غیرالاستیک سازه ای و مفاهیم شکل پذیری و طرح ظرفیت که برای بقای سیستم های غیرالاستیک تحت زلزله های شدید حیاتی هستند، در روش طرح الاستیک ملاحظه نمی شد، بنابراین موقعیت های بحرانی مفصل بالقوه برای تحمل تغییر فرم های غیرالاستیک بزرگ بدون کاهش مقاومت، بدرستی تعیین نمی شدند. درنتیجه مقاومت برشی عضو بیشتر از مقاومت خمشی آن نمی شد و بنابراین زوال برشی ترد، محتمل و ممکن بود.

       انواع خسارت های وارده به پل ها در زلزله های  گذشته که وابسته به  یک یا ترکیبی از نقیصه های اشاره شده می باشند، عبارتند از  ]14،15[ :

زوال دهانه پل ها ناشی از نشیمنگاه ناکافی در درزهای جابجائی

بزرگنمایی جابجائی ها ناشی از اثرات خاک

برخورد بین قاب های پل

  فرونشست[8] کوله ها ، ستون ها

زوال ناشی از عدم شکل پذیری و مقاومت خمشی

کافی نبودن نیروهای طراحی

مقاومت خمشی غیر قابل اعتماد ستون ها

شکل پذیری خمشی ناکافی

زوال برشی ستون

زوال اتصالات

زوال تیر سرستون[9]

زوال پی ها

     برخی از خسارت های وارده بر پل ها در زلزله های گذشته با ذکر دلایل آن در اشکال (2-2) تا (2-8) آورده شده است.