سمینار مقطع کارشناسی ارشد
رشته عمران
سال 1386
مقدمه
توسعه و رشد سريع سرعت كامپيوترها و روشهاي اجزاي محدود در طي سي سال گذشته محدوده و پيچيدگي مسائل سازه اي قابل حل را افزايش داده است. روش اجزاي محدود روش تحليلي را فراهم كرده است كه امكان تحليل هندسه، شرايط مرزي و بارگذاري دلخواه را به وجود آورده است و قابل اعمال بر سازه‌هاي يك بعدي، دو بعدي و سه بعدي مي‌باشد. در كاربرد اين روش براي ديناميك سازهها ويژگي غالب روش اجزاي محدود آن است كه سيستم پيوسته واقعي را كه از نظر تئوري بينهايت درجة آزادي دارد، با يك سيستم تقريبي چند درجه آزادي جايگزين نمايد. هنگامي كه با سازه‌هاي مهندسي كار مي‌كنيم غير معمول نمي‌باشد كه تعداد درجات آزادي كه در آناليز باقي مي‌مانند بسيار بزرگ باشد. بنابراين تأكيد بسياري در ديناميك سازه براي توسعة روشهاي كارآمدي صورت مي‌گيرد كه بتوان پاسخ سيستمهاي بزرگ را تحت انواع گوناگون بارگذاري بدست آورد.
هر چند اساس روشهاي معمول جبر ماتريس تحت تاثير درجات آزادي قرار نمي‌گيرند، تلاش محاسباتي و قيمت، به سرعت با افزايش تعداد درجات آزادي افزايش مي‌يابند. بنابراين بسيار مهم است كه قيمت محاسبات در حد معقول نگهداشته شوند تا امكان تحليل مجدد سازه بوجود آيد. هزينه پايين محاسبات كامپيوتري براي يك تحليل امكان اتخاذ يك سري تصميمات اساسي در انتخاب و تغيير مدل و بارگذاري را براي مطالعة حساسيت نتايج، بهبود طراحي اوليه و رهنمون شدن به سمت قابليت اعتماد برآوردها فراهم مي‌آورد. بنابراين، بهينه سازي در روشهاي عددي و متدهاي حل كه باعث كاهش زمان انجام محاسبات براي مسائل بزرگ گردند بسيار مفيد خواهند بود.
شكل 1-1- ايده آل سازي سازه با جرم گسترده
استفاده از بردارهاي ويژه، براي كاهش اندازة سيستمهاي سازه‌اي يا ارائه رفتار سازه به وسيلة تعداد كمي از مختصات هاي عمومي (تعميم يافته) – در فرمول بندي سنتي – احتياج به حل بسيار گرانقيمت مقدار ويژه دارد.
يك روش جديد از تحليل ديناميكي كه نياز به برآورد دقيق فركانس ارتعاش آزاد و اشكال مدي ندارد توسط ويلسون Wilson يوان (Yuan) و ديكنز (Dickens) (1.17) ارائه شده است.
روش كاهش، بردارهاي ريتز وابسته به بار WYD Ritz vectors) كه D, Y, W (حروف اختصاري نويسندگان)( بر مبناي بر هم نهي مستقيم بردارهاي ريتز حاصل از توزيع مكاني و بارهاي مشخص ديناميكي مي‌باشد. اين بردارها در كسري از زمان لازم براي محاسبة اشكال دقيق مدي، توسط يك الگوريتم بازگشتي ساده بدست مي‌آيند. ارزيابي‌هاي اوليه و كاربرد الگوريتم در تحليل تاريخچه زماني زلزله نشان داده است كه استفاده از بردارهاي ريتز وابسته به بار منجر به نتايج قابل مقايسه يا حتي بهتري نسبت به حل دقيق مقدار ويژه شده است.
در اينجا هدف ما تحقيق در جنبه‌هاي عملي كاربرد كامپيوتري بردارهاي ريتز وابسته به بار، خصوصيات همگرايي و بسط آن به حالتهاي عمومي تر بارگذاري مي‌باشد. به علاوه، استراتژي‌هاي توسعه براي تحليل ديناميكي سيستمهاي غير خطي ارائه خواهد شد. نيز راهنمايي‌هايي براي توسعه الگوريتمهايي براي ايجاد بردارهاي ريتز تهيه شده است.
1-1- اصول اوليه تحليل ديناميكي
تمام سازه هاي واقعي هنگام بارگذاري يا اعمال تغييرمكان به صورت ديناميكي رفتار مي كنند. نيروهاي اينرسي اضافي، با استفاده از قانون دوم نيوتن، برابر نيرو در شتاب مي‌باشند. اگر نيروها و يا تغيير مكانها بسيار آرام اعمال شوند نيروهاي اينرسي قابل صرفنظر كردن مي باشند و يك تحليل استاتيكي قابل انجام است. بنابراين مي توان گفت، تحليل ديناميكي بسط ساده اي از تحليل استاتيكي مي‌باشد.
بعلاوه تمام سازه هاي حقيقي بالقوه داراي درجات آزادي نامحدودي مي باشند. بنابراين بحراني ترين قسمت در تحليل سازه ايجاد مدلي با تعداد درجات آزادي محدود مي باشد كه داراي تعدادي اعضاي تقريباً بدون جرم و تعدادي گره باشد، كه بتواند رفتار سازه را به طور مناسبي تخمين بزند. جرم سازه را مي توان درگره ها متمركز نمود. نيز براي يك سيستم الاستيك خطي خصوصيات سختي اعضاء را مي توان باصحت بسيار خوبي تخمين زد- باتوجه به داده هاي تجربي- هرچند تخمين بارگذاري ديناميكي، اتلاف انرژي و شرايط مرزي مي تواند بسيار مشكل باشد.
با در نظر گيري موارد گفته شده براي كاهش خطاهاي موجود لازم است تحليل هاي ديناميكي متعدد با استفاده از مدلهاي مختلف ديناميكي، بارگذاري و شرايط مرزي به كار گرفته شود و انجام حتي 20 آناليز كامپيوتري براي طراحي يك سازه جديد و يا برآورد يك سازه موجود ممكن است لازم شود.
با توجه به تعداد زيادي آناليزهاي كامپيوتري كه براي يك تحليل ديناميكي نمونه لازم است بايد در كامپيوترها روشهاي عددي مناسبي براي محاسبات به كار رود.
2-1- تعادل ديناميكي
تعادل نيرويي براي يك سيستم چند درجه آزادي با جرم متمركز شده، به صورت تابع زمان را مي توان اين گونه نوشت:
F(t)I + F(t)D + F(t)S = F(t) (1-2-1)
F(t)I : بردار نيروهاي اينرسي عمل كننده بروي جرم
F(t)D : بردار نيروي ميرايي لزج، يا اتلاف انرژي مي باشد.
F(t)S : بردار نيروهاي داخلي تحمل شده توسط سازه
F(t) : بردار بارهاي اعمالي
معادله (1.2.1) برمبناي قوانين فيزيكي قرار دارد و براي هر دو دسته سيستمهاي خطي و غيرخطي معتبر مي باشد.
براي بسياري از سيستمهاي سازه اي تخمين رفتار خطي براي سازه انجام مي گردد تا معادله فيزيكي
(1.2.1) تبديل به گروهي از معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم خطي گردد.
(2-2-1)
كه M ماتريس جرم، C ماتريس ميرايي، K ماتريس سختي مي باشند. بردارهاي وابسته به زمان, ,, مقادير مطلق تغيير مكان، سرعت و شتاب مي باشند.
براي بارگذاري زلزله F(t) نيروي خارجي برابر صفر مي باشد. حركت اساسي لرزه‌اي سه مؤلفه u(t)ig مي باشند كه در نقطه اي زير پي ساختمان در نظر گرفته مي شوند. بنابراين مي توانيم معادله (1.2.2) را با توجه به, ,,كه كمياتي نسبي (نسبت به مؤلفه‌هاي زلزله) مي باشند بنويسيم.
بنابراين مقادير مطلق تغيير مكان، سرعت و شتاب را مي توان از معادله (1.2.2) حذف نمود.
u(t)a = u(t) + {rx} u(t)xg + {ry} u(t)yg + {rz} u(t)zg
(t)a = (t) + {rx} (t)xg + {ry} (t)yg + {rz} (t)zg (3-2-1)
ü(t)a= ü(t) + {rx} ü(t)xg + {ry} ü(t)yg + {rz} ü(t)zg
كه {ri} برداري است كه در درجات آزادي جهتي 1 مي باشد و بقيه عناصر آن صفرند.
با قرار دادن اين معادله (3-2-1) در (2-2-1) داريم:
Mü(t) + C(t) + Ku(t) = -Mx ü(t)xg - My ü(t)yg – Mz ü(t)zg (4-2-1)
كه
Mi = M{ri}
روشهاي كلاسيك گوناگوني براي حل معادله (1-4) وجود دارد كه هركدام داراي محاسن و معايب خاص خود مي باشند كه آنها را به صورت خلاصه بيان مي كنيم.
3-1- روش حل گام به گام
عمومي ترين روش تحليل ديناميكي روش افزايشي است كه معادلات تعادل در زمانهاي Dt, 2Dt, 3Dt , … حل مي شوند. كه تعداد زيادي از اينگونه روشهاي افزاينده براي حل وجود دارد. در حالت عمومي اين روشها شامل حل گروه كاملي از معادلات تعادل در هر افزايش زمان مي باشند. در صورت انجام تحليلي غيرخطي ممكن است لازم باشد تا ماتريس سختي سازه را شكل دهي مجدد نماييم.
نيز امكان دارد در هر گام زماني براي رسيدن به تعادل نياز به تكرار داشته باشيم. از ديدگاه محاسباتي ممكن است حل يك سيستم با چند صد درجة آزادي زمان بسياري طلب نمايد.
بعلاوه ممكن است نياز داشته باشيم تا ميرايي عددي يا مجازي را به دستة زيادي از اين راه حلهاي افزايشي براي بدست آوردن راه حلي پايدار اضافه كنيم. براي تعدادي از سازه هاي غيرخطي كه تحت تأثير حركت زمين قرار گرفته اند، روشهاي حل عددي افزايشي لازم مي باشد.
براي سيستمهاي سازه اي بسيار بزرگ تركيبي از برهم نهي مودي و روشهاي افزايشي مي توانند بسيار مؤثر باشند. (براي سيستمهاي با تعداد كمي المانهاي غيرخطي).
4-1- روش برهم نهي مودي
معمول ترين و مؤثرترين رهيافت براي آناليز لرزه اي سازه هاي خطي روش برهم‌نهي‌مودي مي باشد. پس از آنكه گروهي از بردارهاي متعامد برآورد شدند اين روش دستة بزرگ معادلات تعادل را به تعداد نسبتاً كمتري از معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم تبديل مي كند كه اين باعث كاهش قابل توجهي در زمان محاسبات مي‌شود.
نشان داده شده است كه حركات لرزه اي زمين تنها فركانسهاي پايين سازه را تحريك مي نمايد.به صورت معمول حركات زلزله در فواصل زماني 200 نقطه در ثانيه ثبت مي گردند. بنا بر اين داده هاي بارگذاري پايه شامل اطلاعات بالاي 50 دور در ثانيه نمي باشند.با توجه به اين مطلب صرف نظر از مودها و فركانسهاي بالاتر معمولاَ باعث ايجاد خطا نمي شوند.
5-1- تحليل طيف پاسخ
روش تحليل برهم نهي مودي اوليه ، كه تنها به سازه هاي الاستيك خطي محدود مي باشد، پاسخ كامل تاريخچة زماني تغيير شكلهاي گره ها و نيروهاي اعضا را به علت حركت زمين ويژه اي بدست مي دهد. استفاده از اين روش دو عيب دارد:
اين روش حجم خروجي بالايي ايجاد مي كند كه اين امر سبب زياد شدن عمليات طراحي به خصوص هنگامي كه بخواهيم نتايج را براي كنترل طراحي به كار بريم مي‌گردد.
تحليل بايد براي چندين زلزله ديگر هم تكرار شود تا اطمينان حاصل گرد كه تمام مدها تحريك شده اند.
مزاياي محاسباتي قابل توجهي در استفاده از تحليل طيف پاسخ براي پيش بيني تغيير مكانها و نيروهاي اعضاء در سيستمهاي سازه اي وجود دارد. اين روش فقط شامل محاسبة حداكثر مقدار تغيير مكانها و نيروهاي اعضاء با استفاده از طيفي هموار شده است كه ميانگين چندين زلزله است، مي باشد. سپس لازم است براي بدست آوردن متحمل‌ترين مقدار اوج تغيير مكان يا نيرو از روشهاي CQC ، SRSS و يا CQC3 استفاده گردد.
6-1- حل در حوزة فركانس
رهيافت پاية استفاده شده در حل معادلات تعادل ديناميكي در دامنه فركانس بسط نيروهاي خارجيF(t) در قالب عبارات سري هاي فوريه يا انتگرالهاي فوريه مي باشد.
حل شامل عبارات مختلط است كه محدوده زماني¥+ تا ¥- را پوشش مي دهد. بنابراين روشي بسيار كارا براي گونه‌هاي بارهاي تكراراي مانند: ارتعاشات مكانيكي، آكوستيك، امواج دريا و باد مي باشد. هرچند استفاده از حل در حوزة فركانس براي تحليل سازه‌هايي كه تحت تأثير زلزله قرار مي گيرند داراي معايب چندي نيز مي باشد.
فهم رياضيات به كار رفته براي دسته زيادي از مهندسان سازه بسيار مشكل مي باشد. بنابراين مطمئن شدن از صحت حل بسيار مشكل است.
براي نوع بارگذاري لرزه اي اين روش از نظر عددي كارا نمي باشد. انتقال نتايج از حوزه فركانس به حوزة زمان حتي با استفاده از روشهاي FFT مقدار محاسبات عددي قابل توجهي را لازم دارد.
روش محدود به سيستمهاي ساختماني خطي مي باشد.
روش براي حل غيرخطي تقريبي اندر كنش خاك / سازه و پاسخ در ساختگاه بدون توجيه نظري كافي استفاده شده است. به طور مثال، اين روش به صورت، رفتاري تكراري براي ساختن معادلات خطي به كار مي رود، جملات ميرايي خطي بعد از هر تكرار تغيير مي كنند تا استهلاك انرژي در خاك را تخمين بزنند. بنابراين تعادل ديناميكي در خاك ارضا نمي شود.
7-1- حل معادلات خطي
حل گام به گام معادلات ديناميكي، حل در حوزة فركانس و برآورد بردارهاي ويژه و بردارهاي ريتز تماماً احتياج به حل معادلات خطي دارند كه به صورت زير بيان مي‌شود.
AX=B (1-7-1)
كه در اينجا A يك ماتريس N×N متقارن است كه تعداد زيادي جمله صفر دارد. ماتريسهاي B و X كه
"N × M"هستند بيانگر اين مطلب است كه بيشتر از يك حالت بارگذاري در يك زمان قابل حل مي باشد. كه روشهاي متعددي براي كاهش حافظه مصرفي توسط A وحل دستگاه همزمان وجود دارد. (روش حذفي گوس,حل اسكاي لاين و روشهاي بسيار متنوع ديگر كه براي معكوس سازي ماتريسها به كار مي روند از جمله روشهاي:افراز كردن,سه قطري كردن,كاهش ماتريس,روش جوردن و...)
مراجع:
1- Building Seismic Safety Council (1997) NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings, FEMA-273, Federal Emergency Management Agency, Washington, D.C.
2- American Society of Civil Engineers (2000). Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings, FEMA-356, Federal Emergency Management Agency, Washington, D.C.
3- Fajfar, P., and fischinger, M. (1988). N2- a method for nonlinear seismic analysis of regular structures, Proc., 9 th World Conf. Earthq. Engrg., 5:111-116, Tokyo- kyoto, Japan.
4- Krawinkler, H,, and Seneviratna, G.D.P.K. (1998). Pros and cons of a pushover analysis of seismic performance evaluation. Engrg. Struc., 20(4-6):5452-464.
5- Kim. B., and D’Amore, E. (1999). Pushover analysis procedure in earthquake engineering, Earthq. Spectra, 13(2):417-434.
6- Gupta, B., and Kunnath, S.K. (2000). Adaptive spectra- based pushover procedure for seismic evaluation of structures, Earthq. Spectra, 16(2): 367-392.
7- Sasaki, k.k., Freeman, S.A., and Paret, T.F. (1998)Multimode pushover procedure (MMP) - A method to identify the effects of higher modes in a pushover analysis, Proc., 6 th U.S. Nat. Conf. Earthq. Engrg., Seattle, Washington.
8- Chopra, A.K., and Goel, R.K. (2002). A modal pushover analysis procedure for estimating seismic demands for buildings, Earthq. Engrg. Struc. Dyn., 31(3): 561-582.
9- Chintanapakdee, C, and Chopra, A.K. (2003). Evaluation of modal pushover analysis using generic frames, Engrg. Struc. Dyn., 32(3): 417-442.
10- Kilar, V., and Fajfar,P. (1997). Simple push-over analysis of asymmetric buildings, Earthq. Engrg. Stuc. Dyn., 26(2):233-249.
11- Moghadam, A.S., and Tso, W.K. (1998). Pushover analysis for asymmetrical multistory buildings, Proc., 6th U.S. Nat. Conf. Eagrg., EERI, Oakland, Calif., 13 pgs.
12- Chopra, A.K. (2001). Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering. 2nd Edition, New jersey: Prentice Hall.
13- Chopra, A.k. and Chintanapakdee, C., (2003) Inelastic deformation ratios for design and evaluation of structures: Single- degree- of- freedom bilinear systems, ASCE, J, Struc. Engrg., to appear.
14- Chopra, A. K., Goel, R. K., and Chintanapakdee, C. (2003) Statistics of single- degree- of- freedom estimate of displacements for pushover analysis of buildings, ASCE, J. Struc. Engrg., 129:1-11.
15- Yang, Pu, Wang, Yayong. " A study on improvement of pushove Analysis", 12 WCEE.
16- J. Skokan, Matthew, and C. Hart, Gary, "Reliability of Nonlinear static methods for seismic per formance prediction of steel frame buildings", 12 WCEE